V souvislosti s podzimním kolem státních maturit se vracíme k problematice maturitních testů a dostupnosti maturitních dat. K tématu připravujeme sérii analýz a tiskových zpráv. Jako první si můžete přečíst právní rozbor od Oldřicha Botlíka, který se zabývá oprávněností zařadit do maturitního testu úlohu zaměřenou na logaritmické funkce. Oldřich Botlík upozorňuje, že není možné do Katalogu požadavků ke státní maturitě zařadit úlohu, která neodpovídá obsahu rámcových vzdělávacích programech pro střední odborné vzdělávání.
Byl jsem během letních prázdnin požádán, abych pro Úřad veřejného ochránce práv zpracoval podrobné odůvodnění svého tvrzení, že zařazení požadavku „(žák dovede…), řešit jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice“ do tzv. Katalogu požadavků nemá oporu v rámcových vzdělávacích programech pro střední odborné vzdělávání. Tímto požadavkem totiž Cermat „ospravedlňuje“, proč do testu Matematika jarního kola letošní státní maturity zařadil úlohu 15 (logaritmická rovnice). Podle mého názoru porušil při tvorbě Katalogu i zařazením úlohy školský zákon a diskriminoval maturanty ze středních odborných škol.
Mírně upravenou verzi odůvodnění zveřejňuji, neboť vysvětluje, proč protiargumenty, které zatím předložili oponenti, mé tvrzení nevyvracejí. Nepřijatelný je především protiargument, že v Katalogu smí být vše, co lze z rámcových vzdělávacích programů „logicky vyvodit“. Na příkladu komplexních čísel ukazuji, že takový proces by byl nekontrolovatelný. Zmíněný požadavek navíc ani „logicky vyvozen“ nebyl – dovednosti, které řešení úlohy 15 vyžaduje, jsou pro odborné vzdělávání zařazeny až v rámcových vzdělávacích programech nástavbového (pomaturitního) studia. Ze srovnání s obdobnou situací (využití vlastností goniometrických funkcí a jejich vztahů při řešení jednoduchých goniometrických rovnic, které do rámcových vzdělávacích programů zařazeno je) vyplývá, že záměrem autorů rámcových vzdělávacích programů pro SOŠ bylo nepožadovat podrobnější znalosti o logaritmech, které řešení úlohy 15 vyžaduje. Tento záměr je třeba respektovat.
Na přiměřenou odpověď Cermatu a MŠMT stále čekám. Za zařazení úlohy 15 do testu odpovídají a podle mého názoru mají povinnost svůj postup buď obhájit, nebo konstatovat, že se dopustily chyby, a postarat se o nápravu do budoucna.
I. Předmět vysvětlení
Předmětem vysvětlení je rozpor mezi Katalogem požadavků společné části maturitní zkoušky z matematiky platným od školního roku 2015/2016 (viz http://www.novamaturita.cz/katalogy-pozadavku-1404033138.html; dále Katalog) a obsahem rámcových vzdělávacích programů pro střední odborné vzdělávání zakončené maturitní zkouškou (viz http://www.nuv.cz/t/rvp-os; obory L0 a M).
Všechny rámcové vzdělávací programy pro střední odborné vzdělávání zakončené maturitní zkouškou jsou v části Matematické vzdělávání identické. Budu se proto dále odkazovat na Rámcový vzdělávací program pro obor 18 – 20 – M/01 Informační technologie (dále RVP SOŠ).
Katalog obsahuje v bodě 4.4. (str. 10) mj. tyto požadavky:
(Žák dovede)
Tyto požadavky nemají oporu v RVP SOŠ, který v části Matematické vzdělávání (str. 35–37) obsahuje – pokud jde o řešení rovnic – pouze požadavky (viz sloupec Výsledky vzdělávání, str. 36 dole, str. 37 nahoře):
(Žák)
Pokud jde o učivo (viz sloupec Učivo, str. 36 dole), NEobsahuje RVP SOŠ logaritmické rovnice, nýbrž pouze
MŠMT ČR poskytlo ČTK k tomuto rozporu oficiální vyjádření (viz http://www.ceskenoviny.cz/zpravy/ministerstvo-logaritmicke-rovnice-i-opravy-textu-do-maturit-patri/1365132). Podle zprávy ČTK v něm uvedlo, že rámcové vzdělávací programy nejsou zpracovány do největších podrobností. V katalogu se tak mohou objevit nejen témata, která vzdělávací programy obsahují, ale také ta, která z něj lze „logicky vyvodit“.
II. Odůvodnění
a) Argument „logického vyvozování“ je nepřijatelný
Takový výklad obsahu RVP SOŠ by vedl k nekontrolovatelnému rozšiřování učiva i požadavků na jeho zvládnutí. Lze to ilustrovat na příkladu komplexních čísel, která NEjsou povinnou součástí učiva ani podle RVP pro gymnázia (dále RVP G), ani podle RVP SOŠ. Komplexní čísla však JSOU kořeny určitých kvadratických rovnic, jejichž řešení (pokud existuje v oboru reálných čísel) je součástí požadavků podle RVP G i podle RVP SOŠ. Přistoupením na argument „logického vyvozování“ by se tedy komplexní čísla stala automaticky součástí středoškolského učiva podle všech RVP. V RVP SOŠ ovšem najdeme tuto větu (str. 35 dole): V oborech vzdělání se zvýšenými nároky na matematické vzdělávání rozšíří škola ve svém školním vzdělávacím programu matematické vzdělávání v souvislosti s potřebami odborného vzdělávání zejména o operace s komplexními čísly a řešení kvadratických rovnic v množině komplexních čísel. Autoři RVP SOŠ tedy zjevně nepředpokládali, že interpretace obsahu RVP SOŠ se bude opírat rovněž o „logické vyvozování“.
b) Rozdíly mezi různými rámcovými vzdělávacími programy mají význam a je třeba je respektovat
V některých internetových diskusích (viz například https://www.respekt.cz/spolecnost/spor-o-logaritmickou-rovnici-a-pravni-povedomi-ministryne-valachove; Dalibor Šmíd, 28. 6. 2016 13:52) se objevil názor, že úloha č. 15 využívá pouze vlastnosti logaritmů a schopnost řešit lineární rovnici v jedné proměnné.
Je proto užitečné rekapitulovat požadavky RVP G, RVP SOŠ a RVP pro nástavbové studium určené vyučeným s maturitou (RVP NÁST), které se týkají logaritmů a řešení logaritmických rovnic.
RVP G – studium orientováno teoreticky (str. 21–23)
RVP SOŠ – studium orientováno prakticky (str. 36)
RVP NÁST – studium dává hlubší teoretické základy vyučeným s maturitou (viz např. http://zpd.nuov.cz/RVP_4_vlna/RVP_2362L51_Optik.pdf; str. 27)
Ze srovnání je patrné, že uplatnění vlastností logaritmů a vztahů (zařazené do RVP G) požaduje u oborů SOŠ až RVP pro nástavbové studium. Odpovídá to rozdílům v cílech vzdělávání jednotlivých kategorií žáků a studentů a zohledňuje to existující rozdíly v průběhu jejich vzdělávání. Zkrátka a dobře, rozdíly mezi RVP G a RVP SOŠ mají svůj význam, neboť naprostá většina maturantů na SOŠ „vystačí“ ve své práci se základní znalostí principu logaritmu. Ty využijí například při čtení diagramů s logaritmickou stupnicí (tak se znázorňuje třeba vývoj rychle rostoucích závislých proměnných), nebo – v případě žáků chemických a potravinářských oborů – při práci s ukazatelem pH pro kyselost či zásaditost látek.
c) Když autoři RVP SOŠ chtěli, aby žáci řešili určitý typ rovnic a uplatňovali při tom určité vlastnosti a vztahy, pak to v textu explicitně uvedli
Příkladem je učivo (str. 36 a 37)
a odpovídající výsledky vzdělávání (str. 36 a 37)
d) Ministerstvo i Cermat jsou při tvorbě Katalogu vázány § 3 odst. 2 a § 73 školského zákona
Jeden z protiargumentů, které se objevily, tvrdil, že MŠMT zmocňuje k zařazení požadavku na řešení logaritmické rovnice do Katalogu § 78a odst. 1 školského zákona.
Toto zmocnění k sestavení Katalogu však není neomezené. Školský zákon obsahuje rovněž ustanovení § 3 odst. 2 a § 73, která samozřejmě platí rovněž pro Cermat a MŠMT a stanoví „tvořivosti“ při sestavování Katalogu jasné meze.
Školský zákon platí jako celek. Cermat a MŠMT mají povinnost dodržovat § 3 odst. 2 (resp.§ 73) rovněž při tvorbě a schvalování katalogů požadavků – leda by je nějaké ustanovení zákona této povinnosti explicitně zprostilo. Žádné takové „zprošťovací“ ustanovení ovšem neexistuje. Mám tedy za prokázané, že zařazením požadavku „(žák dovede…), řešit jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice“ do Katalogu došlo k porušení § 3 odst. 2 a § 73 školského zákona.
III. Důsledky současného stavu
Na základě pasáží Katalogu týkajících se logaritmů a logaritmických rovnic byla na jaře 2016 do testu Matematika zařazena následující úloha.
Zařazením úlohy č. 15 do maturitního testu podle mého názoru došlo k porušení následujících ustanovení školského zákona – navzdory tomu, že její zařazení je v souladu s Katalogem:Autoři explicitně nazvali vztah rovnicí – zjevně ovšem nejde o žádný z typů rovnic uvedených v učivu podle RVP SOŠ, tedy o rovnici lineární, kvadratickou ani goniometrickou.
Složení maturitní zkoušky, která je samozřejmě součástí vzdělávání, je totiž nutnou podmínkou studia na většině vysokých škol.
IV. Navrhovaná opatření
a) Co nejdříve zabránit zařazování logaritmických rovnic, případně úprav výrazů s logaritmy do maturitních testů.
b) Z příštího vydání Katalogu vypustit pasáže týkající se řešení logaritmických rovnic, případně úprav výrazů s logaritmy.
c) Iniciovat provedení důkladné kontroly souladu Katalogu s rámcovými vzdělávacími programy.