Martin Mikuláš: Úloha číslo jedenáct

Publikujeme text Martina Mikuláše, který komentuje debatu kolem úlohy 11 v maturitním testu z matematiky. Více informací o problematickém zadání najdete ZDE.

Reaguji tímto článkem na „bohatou“ diskusi k počtu řešení úlohy číslo 11 zadané v didaktickém testu letošní státní maturitní zkoušky. K tomuto tématu bych rád připojil několik svých postřehů.

Předně bych rád upozornil, že každý obor lidské činnosti s vlastní profesní komunitou se vždy vyjadřuje určitým způsobem. Tomuto způsobu komunikace v nejobecnějším slova smyslu se říká diskurs. Nejen matematika jako obor, ale i školská matematika jako její didaktická transformace, kódují své výpovědi specifickým způsobem. Jen díky tomuto diskursnímu předpokladu nemusíme každý dílčí pojem znovu a znovu definovat. Rozumíme si. Předpokládáme totiž, že jazykové formy jsou užity způsobem pro daný diskurz obvyklým. O diskurs školské matematiky, dle mého soudu profesionálně, pečuje Terminologická komise pro školskou matematiku Jednoty českých matematiků a fyziků. Zpochybňovaný termín školská matematika tedy existuje, má svůj slovník, svůj soubor značek a symbolů, termínů, synonym a obecnějších pravidel komunikace matematického obsahu.

Ve školské matematice se pojmem úhel obvykle rozumí buď geometrický objekt, nebo jeho velikost a orientace. Pan kolega Botlík zvolil pro své vysvětlení pojetí poněkud omezené, známé ze syntetické geometrie, kde je úhel definován jako část roviny, tedy jako geometrický objekt. Ostatní disciplíny (algebra, teorie vektorových prostorů, analytická geometrie a další) úhel obvykle považují za metriku. Nakonec i Oxfordský matematický slovník definuje úhel pouze metricky.

Ve středoškolské matematice, jejíž diskursní pravidla si studenti osvojují z učebnic a z komunikace s vyučujícími matematiky, se slovo úhel používá oběma výše popsanými způsoby. Dokonce ani název úhlu neodkazuje pouze na geometrický objekt, ale současně vždy i na jeho velikost a orientaci. Proto můžeme říkat, že úhel alfa je roven úhlu beta (nikoli nutně velikost úhlu alfa je rovna velikosti úhlu beta). Příkladů lze v textech školské matematiky nalézt mnoho.

Předchozí diskuse ovšem pominuly, že s oběma pojetími úhlu zacházíme poněkud odlišně ve smyslu jazykovém. O geometrických útvarech nikdy neříkáme, že jsou stejné nebo různé. Pro onu „stejnost“ a „různost“ má diskurs školské matematiky přesně vymezené termíny. Geometrické útvary jsou vždy buď shodné, totožné (resp. identické) nebo neshodné, netotožné (resp. neidentické). Pokud žák základní školy prohlásí, že dva geometrické útvary jsou stejné nebo různé, kvalifikovaný učitel matematiky ho na tuto chybu upozorní. Pokud pan kolega Botlík trvá na definici úhlu jako geometrického objektu, pak se této chyby dopustil.

Správně hovoříme o

• shodných úhlech, které mají vždy stejnou velikost
• neshodných úhlech, které mají různou velikost
• identických úhlech, které mají vždy stejnou velikost
• neidentických úhlech, které mají stejnou nebo různou velikost

Z výše uvedeného vyplývá, že se slovem úhel užíváme různé přívlastky. Závisí však na tom, v jakém smyslu je toto slovo užito. S geometrickými útvary přívlastky různý a stejný nedávají smysl, jsou nevhodné, leda bychom jich užili neodborně, to znamená mimo zvyklosti daného diskursu. Přívlastky různý a stejný jsou rezervovány pro hodnoty.

Připusťme nyní velkoryse, že slovo různý bylo v zadání úlohy číslo 11 použito obecně, mimo zvyklosti diskursu školské matematiky. Tak toto slovo používá pan kolega Botlík. V takovém případě lze úlohu interpretovat dvěma způsoby:

PRVNÍ ZPŮSOB (úhel ve smyslu velikost úhlu)

Zadání „Pro dva různé úhly …“ interpretujeme jako „Pro dva úhly různé velikosti“ (což implikuje, že se jedná o úhly neshodné). V takovém případě existuje v zadaném intervalu jen jedno řešení (248 stupňů).

nebo (XOR)

DRUHÝ ZPŮSOB (úhel ve smyslu geometrický útvar)

Zadání „Pro dva různé úhly …“ interpretujeme jako „Pro dva neidentické úhly stejné velikosti…“ nebo (OR) „Pro dva neshodné úhly různé velikosti…“. Protože nalézt řešení v diskursu školské matematiky vždy znamená nalézt úplné řešení (dokonce i když existuje nekonečně mnoho řešení), pojímáme-li zadání druhým způsobem, je řešením úlohy dvojice 112 stupňů a 248 stupňů (pozn. obdobně zadání zjednodušte výraz vždy automaticky znamená zjednodušte všechny části výrazu maximálně, aby nebylo možné žádnou jeho část více zjednodušit).

Domnívám se tedy, že CERMAT velice velkoryse aplikoval široce pojatou sémantickou interpretaci zadání úlohy. Ona dvě uznávaná řešení považuji za správná. Hodnota 112 stupňů sama o sobě není úplným řešením úlohy.