Oldřich Botlík: Poučme se z osudu logaritmického pravítka – část II.

Publikujeme pokračování textu Oldřicha Botlíka o stavu výuky matematiky ve školách, tentokrát se zaměřením na problematiku sestavování a řešení rovnic. Hlavní myšlenky textu byly obsahem příspěvku předneseného autorem na pracovním setkání Maturita z matematiky, které dne 30. 1. 2019 uspořádala v Praze Jednota českých matematiků a fyziků. První část textu Poučme se z osudu logaritmického pravítka najdete ZDE.

V první části tohoto textu jsem mj. zmínil, že by žákům velmi prospělo, kdyby se namísto výuky „ručního“ řešení rovnic všeho druhu a jejich soustav naučili používat aplikace, které to udělají za ně. Očekávám námitku, že postupy řešení rovnic si žáci přece osvojit musejí, protože

• jsou výsledkem usilovné práce celé řady vynikajících matematiků a patří k základům oboru
• žáci se většinu z nich učí už 200 let nebo víc
• z nároků na žáky není možné dále slevovat
• učitelé byli připravováni tak, aby uměli tyto dovednosti předávat dalším generacím
• žáci by se někdy mohli ocitnout na pustém ostrově bez mobilu či bez možnosti ho dobít
• … atd.

Přes všechny podobné argumenty bychom se však měli rychle smířit s tím, že „ruční“ řešení rovnic potká osud počítání na logaritmickém pravítku nebo s logaritmickými tabulkami. Hlavně z ekonomických důvodů. Už velmi brzy nikdo nedokáže žáky donutit, aby brali vážně snahy naučit je to. Ať se nám to líbí, nebo ne.

Zásadní problém výuky je ovšem stejně někde jinde. Vidím ho především v tom, že téměř žádní žáci neumějí příslušnou rovnici sestavit jako matematický model určitého problému. Doložím to výsledky jedné maturitní a jedné přijímačkové úlohy – důkazů je ovšem nepřeberně.

Úspěšné řešení předvedlo pouze 15,7 % maturantů, data jsou za 16 795 žáků. Úloha byla zařazena jako „rozjížděcí“ (tedy velmi snadná) v maturitním testu z matematiky na jaře 2016.

Neodpovědělo 8,5 % žáků, data jsou za 60 865 uchazečů o přijetí. Úloha byla zařazena do přijímacího testu z matematiky pro čtyřleté obory v 1. řádném termínu na jaře 2018. Někomu by se mohlo zdát, že úspěšnost 36,9 % je docela vysoká, jde však o důsledek nevhodné konstrukce úlohy. Řada žáků totiž uspěla jen tipováním. Bylo úspěšné i díky zcela zbytečné nápovědě, že kolo je veliké, symetrická zaškrtávací škála má navíc správnou odpověď uprostřed. Tím, že autor pojal úlohu jako zaškrtávací, poměrně vtipnou výchozí situaci úplně zkazil. Kdyby žáci museli sestavit rovnici 2πr = 252 (což většina nedokáže) a vyřešit ji pro neznámou r, dozvěděl by se navíc, že mnozí počítali s obsahem namísto s obvodem, případně s průměrem namísto s poloměrem. Příslušné položky ale v nabídce odpovědí nenajdeme – hranice intervalů jsou vzhledem k očekávatelným chybám nesmyslné. Podle mých 25letých zkušeností s testováním žáků na konci základního vzdělávání by „otevřenou“ verzi úlohy nevyřešilo ani 10 % uchazečů.

Klíčová otázka

Proč by tedy měli žáci umět nějakou rovnici vyřešit, když k ní nedovedou dospět? Nebo se snad budou běžně dostávat do situace, že ji někdo – jako matematický model reálného problému – sestaví za ně a nechá je jen spočítat kořen(y)? Proč by to dělal, když žáci ani to počítání moc neumějí a existuje software, který řešení najde rychle a spolehlivě? Pro žáky bude mnohem užitečnější, když se budou především učit různé matematické modely reálných situací sestavovat. A potom, půjde-li o rovnice, si je nechají vhodnou aplikací vyřešit.

Jak rozvíjet myšlení, i když technologie udělají část práce za žáky

Poučení z osudu provádění numerických výpočtů logaritmováním ukazuje, že při nepřipraveném vstupu nové technologie do výuky hrozí výpadek činností, které do té doby mohly rozvíjet myšlení žáků. Vždy je proto třeba dbát, aby před žáky stály nové výzvy. Leckdy sice nepůjde o stejné „tréninkové“ činnosti, bude to však pořád lepší, než kdyby trénink vymizel úplně. Ukážu na několika příkladech, co mám na mysli.

Už děti v páté třídě ZŠ mohou na digitálních mapách aproximovat délku cesty pomocí lomených čar procházejících body stále jemnějších dělení původní cesty. Vhodná aplikace za ně spočítá délku lomené čáry a usnadní jim zjemňování dělení. Děti tak pochopí jednu ze základních myšlenek matematiky: jak se dá odhadnout délka, obsah či objem složitých objektů pomocí objektů jednoduchých. A budou o ní samy moci přemýšlet do větší hloubky. Jen trochu starší děti mohou analyzovat GPS záznam výletu. Z něho získají například výškový profil trasy, graf závislosti okamžité rychlosti na čase nebo graf toho, jak na čase závisí vzdálenost, kterou ušli. To všechno jsou různé reprezentace původního záznamu a současně matematické modely výletu. Jejich interpretace a studium vztahů mezi nimi je velmi nosnou ukázkou toho, čím se vlastně matematika zabývá. Navíc s jasným přesahem do zeměpisu a fyziky.

V jazycích mohou středoškoláci titulkovat epizodu nějakého anglického seriálu. Vyjdou třeba z počítačově získaných anglických titulků, první verzi těch českých z nich vytvoří rovněž počítač. Vznikne tak text bez pravopisných chyb, který bude snadno editovatelný. Ten pak žáci upraví na základě sledování epizody v původním znění. Jiným důstojným úkolem, který by byl dříve neúnosně pracný, je krácení dlouhého textu na stanovený rozsah při zachování hlavních myšlenek.

Nemají-li si žáci připadat ve škole jako ve skanzenu, musí školství konečně na novou situaci přiměřeně reagovat. Dostupné aplikace zatím možná nenabízejí všechny potřebné funkce v potřebné kvalitě. Vyvíjejí se však tak překotně, že nás dočasné nedostatky vůbec nemusejí znepokojovat. Školský systém tahá za kratší konec provazu, a navíc nešikovně. Logaritmických tabulek se sice musel vzdát už před čtyřiceti lety, pořád ještě ale nikdo nevymyslel, čím ten chybějící duševní trénink nahradit. Mladí a tvořiví didaktici matematiky si tedy rozhodně nemohou stěžovat na nedostatek práce.